Τα δώρα του Νείλου για την κατανόηση του κλίματος - Μέρος 3
Καλά νέα για λογικούς ανθρώπους
[Υπάρχει και αγγλική έκδοση της ανάρτησης—There is also an English version of the post]
«Οὐκοῦν Προφήτης μέν ἐστιν, ὁ κατὰ ἀποκάλυψιν τοῦ Πνεύματος προαγορεύων τὸ μέλλον· στοχαστὴς δὲ, ὁ διὰ σύνεσιν ἐκ τῆς τοῦ ὁμοίου παραθέσεως, διὰ τὴν πεῖραν τῶν προλαβόντων, τὸ μέλλον συντεκμαιρόμενος.» (Ἅγιος Βασίλειος ὁ Μέγας, Ερμηνεία εις τον προφήτην Ησαΐαν, 3.102.26)
Το δεύτερο μέρος αυτής της τριλογίας είχε υπότιτλο «Κακά νέα για τους μανιακούς των προβλέψεων και τους ντετερμινιστές». Τα ίδια νέα είναι καλά νέα για τους λογικούς ανθρώπους. Αυτό είχε θιγεί στο προηγούμενο μέρος:
Η αβεβαιότητα, αλλιώς γνωστή ως εντροπία, κυριαρχεί. Αυτός είναι ο σημαντικότερος φυσικός νόμος (στη θερμοδυναμική είναι γνωστός ως Δεύτερος Νόμος). […] Η εντροπία κάνει τη ζωή όσο το δυνατόν πιο δίκαιη: ακόμη και αν ένας κοντρολιγάρχης ήταν σε θέση να κατασκευάσει τη μηχανή DREAM, μπορούμε να εικάσουμε ότι ο μυστικός της κώδικας θα διέρρεε με κάποια απρόβλεπτη ενέργεια (βλ. wikileaks, climategate κτλ.). Και αυτό κάνει επίσης τη ζωή συναρπαστική. Χωρίς την κυριαρχία της εντροπίας, δηλαδή της αβεβαιότητας, η ζωή θα ήταν μια καθολική πλήξη και έννοιες όπως ελπίδα, βούληση (ιδίως ελεύθερη βούληση), ελευθερία, προσδοκία, αισιοδοξία κτλ., δεν θα είχαν νόημα.
Θα το εξηγήσω περαιτέρω σε αυτή την ανάρτηση και θα προσπαθήσω να δείξω ότι η αβεβαιότητα μπορεί να αντιμετωπιστεί με επιστημονικό τρόπο, χρησιμοποιώντας τη στοχαστική.
Μια πρώτη ιδέα για το τι είναι η στοχαστική μπορεί να αποκτηθεί από το επίγραμμα που προέρχεται απ’ τον Άγιο Βασίλειο τον Μέγα1. Ο Βασίλειος αντιπαραβάλλει τον προφήτη με τον «στοχαστή» —ένα ουσιαστικό που συνήθως μεταφράζεται λανθασμένα στα αγγλικά ως «diviner», μάντης. Στην πραγματικότητα, ο στοχαστής είναι το αντίθετο του μάντη: ένας συνετός άνθρωπος που συμπεραίνει το μέλλον από παρόμοιες καταστάσεις του παρελθόντος.
Σε σύγχρονους όρους, αυτό που ένας παραδοσιακός στοχαστής συνήθιζε να κάνει εμπειρικά, γίνεται μέσω της επιστήμης της στοχαστικής. Η στοχαστική είναι ένα υπερσύνολο της θεωρίας πιθανοτήτων, της στατιστικής και των στοχαστικών ανελίξεων.2 Ο στόχος μιας στοχαστικής πρόβλεψης είναι να αποδοθεί μια πιθανότητα σε μια ορισμένη τιμή μιας μεταβλητής, ώστε να γνωρίζουμε πόσο πιθανό είναι το ενδεχόμενο εμφάνισης αυτής της τιμής σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Ο ακριβής χρόνος που θα εμφανιστεί μια τέτοια τιμή δεν περιλαμβάνεται στον στόχο και δεν έχει σημασία για τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα.
Ας υποθέσουμε ότι μια πόλη σχεδιάζει να κατασκευάσει μια γέφυρα στον ποταμό που τη διασχίζει και θέλει να βρει το βάθος του νερού στον ποταμό, έτσι ώστε οι πλημμύρες να μην καταστρέψουν τη γέφυρα για μια προαποφασισμένη διάρκεια ζωής, ας πούμε για τα επόμενα πενήντα χρόνια. Λαμβάνοντας υπόψη τη διακινδύνευση (η οποία δεν μπορεί ποτέ να εξαλειφθεί) και το κόστος, οι μηχανικοί προτείνουν ότι η παροχή σχεδιασμού πρέπει να είναι 1000 m³/s, η οποία αντιστοιχεί σε βάθος νερού 10 m. Αυτό σημαίνει ότι, με αποδεκτά χαμηλή πιθανότητα, αναμένουμε ότι κάποια μέρα στα επόμενα 50 χρόνια θα συμβεί, με αυτή την πιθανότητα, μια πλημμύρα στον ποταμό κατά την οποία το βάθος νερού θα είναι 10 m ή μεγαλύτερο. Σε όλες τις άλλες ημέρες κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου των 50 ετών, αναμένουμε ότι η στάθμη του νερού θα είναι χαμηλότερη από 10 m, με μεγάλη πιθανότητα. Ενδιαφέρεται κανείς για το ποια θα ήταν η μοναδική ημέρα αυτού του φανταστικού εξαιρετικού γεγονότος (με χαμηλή πιθανότητα); Θα ήταν η 1η Φεβρουαρίου 2050, η 23η Μαρτίου 2063 ή κάποια άλλη ημερομηνία μεταξύ των 18 260; Ένας στοχαστής ή ένας μηχανικός δεν μπορεί να απαντήσει σε αυτό το ερώτημα. Ούτε καν το θέτει. Αυτό είναι ένα ερώτημα που πρέπει να αντιμετωπιστεί από έναν προφήτη —ή από έναν κλιμοντελάκια. Στην πραγματικότητα, αν ήταν δυνατόν να απαντηθεί αυτό το ερώτημα χρησιμοποιώντας τη λογική —και όχι τις υπερφυσικές ικανότητες των προφητών και των κλιμοντελάκηδων— η ζωή μας θα ήταν πολύ προβληματική. (Σκεφτείτε το.)
Ο παραπάνω συλλογισμός είναι πιθανοτικός. Στην πραγματικότητα, όταν περάσουν τα 50 χρόνια, το εξαιρετικό βάθος νερού σχεδιασμού μπορεί να έχει εμφανιστεί μία ή και δύο φορές κτλ., ή, το πιθανότερο, μπορεί να μην έχει εμφανιστεί καθόλου — επειδή η πιθανότητά του έχει επιλεγεί να είναι χαμηλή.
Πώς μπορούμε να αποδώσουμε πιθανότητα και διακινδύνευση στις διάφορες τιμές πλημμύρας ή στάθμης ποταμού; Όπως σωστά αναφέρει ο Βασίλειος, μελετώντας τις καταστάσεις του παρελθόντος.
Τώρα μπαίνει στη σκηνή η χρονοσειρά του νειλομέτρου, το μεγαλύτερο σύνολο δεδομένων μετρήσεων από όργανα που διαθέτουμε, με διάρκεια 849 ετών. Το παρακάτω γράφημα που αναπαράγεται από το βιβλιαράκι3, δείχνει το ετήσιο ελάχιστο και το ετήσιο μέγιστο βάθος νερού του Νείλου από το 622 έως το 1470 μΧ.
Παρατηρώντας το κάτω γράφημα, βλέπουμε ότι η μέγιστη στάθμη του νερού κάθε χρόνο κυμαίνεται συνήθως μεταξύ 8.5 και 10 m, αλλά υπάρχουν κάποιες σπάνιες εξαιρέσεις με πολύ υψηλότερες και πολύ χαμηλότερες τιμές. Τέτοιες εκτροπές από τη συνήθη διακύμανση έχουν ονομαστεί από τους Mandelbrot και Wallis ως φαινόμενο Νώε και από τον Taleb ως μαύρος κύκνος.4 Και οι δύο όροι αποσκοπούν στην εκλαΐκευση αυτών των εκτροπών απ’ την κανονική διακύμανση. Ο τελευταίος όρος έγινε πραγματικά δημοφιλής επιφέροντας δεκάδες χιλιάδες αναφορές στην επιστημονική και στη μη επιστημονική βιβλιογραφία. Ακόμη και οι πολιτικοί αγαπούν να τον χρησιμοποιούν. Αλλά δεν μου αρέσει κανένας από αυτούς τους όρους. Προτιμώ τον πιο επιστημονικό και μπανάλ όρο βαριά ουρά της κατανομής πιθανοτήτων. Ο σκοπός αυτού του όρου είναι να αντιπαραβάλει τις κατανομές πιθανότητας των φυσικών διεργασιών με εκείνες που έχουν ελαφριά ουρά, όπως η δημοφιλής κανονική κατανομή. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι κατανομές πιθανότητας των φυσικών διεργασιών είναι μη-κανονικές. Είναι απλώς φυσικές.
Μια άλλη σημαντική αποκάλυψη από τα γραφήματα του νειλομέτρου, είναι η κυριαρχία της «κλιματικής αλλαγής». Ιδιαίτερα, το γράφημα της ελάχιστης στάθμης νερού δείχνει ότι οι κλιματικές τιμές των 30 ετών παρουσιάζουν μεγάλη μεταβλητότητα. Ο Βρετανός υδρολόγος Harold Edwin Hurst, ο οποίος αφιέρωσε τη ζωή του στη μέτρηση και τη μελέτη του Νείλου, και ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε αυτή τη συμπεριφορά στις φυσικές διεργασίες, δεν χρησιμοποίησε τον όρο «κλιματική αλλαγή». Έγραψε απλώς:
Αν και σε τυχαία γεγονότα εμφανίζονται ομάδες υψηλών ή χαμηλών τιμών, η τάση τους να εμφανίζονται σε φυσικά γεγονότα είναι μεγαλύτερη. Αυτή είναι η κύρια διαφορά μεταξύ φυσικών και τυχαίων γεγονότων.5
Οι Mandelbrot και Wallis χρησιμοποίησαν τον όρο φαινόμενο Ιωσήφ (Joseph effect) γι’ αυτή τη συμπεριφορά, εμπνευσμένοι από τη βιβλική ιστορία των επτά παχιών και των επτά ισχνών αγελάδων. Αργότερα, η συμπεριφορά αυτή αναφερόταν συχνά ως φαινόμενο Hurst. Μαζί με τον Tim Cohn6, επινοήσαμε τους όρους συμπεριφορά Hurst-Kolmogorov και (στοχαστική) δυναμική Hurst-Kolmogorov με διττό σκοπό: (α) να αποθαρρύνουμε τη χρήση της λέξης φαινόμενο, καθώς η συμπεριφορά δεν είναι κάτι καινοφανές που θα το λέγαμε «φαινόμενο»— αποτελεί τον κανόνα στις φυσικές διεργασίες— (β) να κάνουμε τη σύνδεση με τον σοβιετικό μαθηματικό Andrey Kolmogorov, ο οποίος επινόησε τα μαθηματικά αυτής της δυναμικής7 (σημειωτέον, μια δεκαετία νωρίτερα από την ανακάλυψη της φυσικής συμπεριφοράς από τον Hurst).
Η διαφορά των φυσικών διεργασιών από τις τυχαίες διεργασίες απεικονίζεται στο ακόλουθο γράφημα, το οποίο αναπαράγεται από το βιβλιαράκι: Παίρνοντας τις ετήσιες ελάχιστες τιμές του νειλομέτρου (πάνω γράφημα) και αναδιατάσσοντάς τες χρονικά με τυχαίο τρόπο (κάτω γράφημα), παίρνουμε μια σειρά που δεν παρουσιάζει κλιματικές αλλαγές. Με άλλα λόγια, η φύση παράγει κλιματικές αλλαγές, ενώ μια τυχαία διαδικασία (όπως στα ζάρια ή στη ρουλέτα) θα παρήγαγε ένα σταθερό κλίμα.
Και τα δύο παραπάνω γραφήματα υποδηλώνουν ακριβώς την ίδια αβεβαιότητα για τις ετήσιες τιμές, καθώς οι δύο σειρές περιέχουν ακριβώς τα ίδια δεδομένα αλλά με χρονική ανακατανομή. Η φυσική σειρά υποδηλώνει επιπλέον αβεβαιότητα για το κλίμα. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, πως η φύση παράγει ενισχυμένη αβεβαιότητα: αβεβαιότητα τόσο βραχυπρόθεσμα όσο και μακροπρόθεσμα.
Είναι δύσκολο να μοντελοποιηθεί η φυσική συμπεριφορά στο πλαίσιο της στοχαστικής; Καθόλου. Χρειαζόμαστε μόνο την έννοια της διασποράς. Από την ετήσια σειρά (849 τιμές) κατασκευάζουμε τη σειρά των μέσων όρων 2 ετών (424 τιμές), αυτή των μέσων όρων 3 ετών (283 τιμές) κ.ο.κ., μέχρι τους μέσους όρους 84 ετών (10 τιμές). Δεν προχωρούμε πέρα από τη χρονική κλίμακα των 84 ετών, καθώς οι διαθέσιμες τιμές δεδομένων θα ήταν πολύ λίγες για να εκτιμήσουμε τη διασπορά. Το σύνολο των τιμών της διασποράς γ(κ) ως συνάρτησης της χρονικής κλίμακας κ (= 1, 2, ..., 84 έτη) ονομάζεται κλιμακόγραμμα. Η γραφική παράστασή του σε λογαριθμικούς άξονες παρουσιάζεται παρακάτω, σε αναπαραγωγή απ’ το βιβλιαράκι.
Αν η διαδικασία ήταν καθαρά τυχαία (λευκός θόρυβος), η κλίση της διάταξης των σημείων στο κλιμακόγραμμα θα ήταν —1. (Αυτό είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί.) Στις πραγματικές φυσικές διεργασίες, η κλίση είναι διαφορετική από το —1, και ορίζεται ως 2H — 2 όπου H είναι η παράμετρος Hurst, που παίρνει τιμές από 0 έως 1, με την τιμή 1/2 να αντιστοιχεί σε καθαρά τυχαίες διεργασίες.
Η πραγματικότητα στη χρονοσειρά του νειλομέτρου αποκλίνει σημαντικά από την αμιγώς τυχαία συμπεριφορά και είναι σύμφωνη με τη συμπεριφορά Hurst-Kolmogorov με H = 0.85 και 0.82 για το ελάχιστο και το μέγιστο βάθος νερού, αντίστοιχα.
Ουσιαστικά, η συμπεριφορά Hurst-Kolmogorov υποδηλώνει ότι οι μακροπρόθεσμες αλλαγές είναι πολύ πιο συχνές και έντονες από ό,τι συνήθως γίνεται αντιληπτό και, ταυτόχρονα, ότι οι μελλοντικές καταστάσεις είναι πολύ πιο αβέβαιες και απρόβλεπτες σε μεγάλους χρονικούς ορίζοντες από ό,τι συνεπάγεται η καθαρή τυχαιότητα. Έτσι, μια υψηλή τιμή του H υποδηλώνει ενισχυμένη αλλαγή σε πολλαπλές κλίμακες και, ως εκ τούτου, ενισχυμένη αβεβαιότητα.
Η τρέχουσα αντίληψη και οι συνήθεις στατιστικές μεθοδολογίες δεν λαμβάνουν υπόψη τις δύο σημαντικές φυσικές συμπεριφορές που αποκαλύπτονται απ’ τις μακρές σειρές του νειλομέτρου: τις βαριές ουρές και τη δυναμική Hurst-Kolmogorov. Κατά συνέπεια, οι τυπικές μεθοδολογίες υπεκτιμούν σημαντικά την πιθανότητα και τη διάρκεια των ακραίων γεγονότων. Τα προβλήματα απ’ την παραμέληση αυτών των συμπεριφορών δεν έχει γίνει ευρέως γνωστά γιατί κρύβονται αν οι χρονοσειρές παρατηρήσεων δεν είναι αρκετά μεγάλες. Πιστεύω ότι η απλή αναγνώριση αυτών των δύο συμπεριφορών και η αναπαραγωγή τους στη μοντελοποίηση επιλύουν τα περισσότερα προβλήματα υπεκτίμησης της πιθανότητας εμφάνισης ακραίων φαινομένων και συνεπώς της διακινδύνευσης. Και αυτό γίνεται με επιστημονικό τρόπο, χωρίς να καταφεύγουμε στα ντετερμινιστικά κλιματικά μοντέλα με τις κακές επιδόσεις τους.
Εύχομαι, σε λίγες μέρες που τον γιορτάζουμε, ο Άη-Βασίλης να φέρει σε όλους μας, μικρούς και μεγάλους, πνευματικά δώρα, που είναι τα σημαντικότερα.
Δείτε πρόσθετες επεξηγήσεις στο Digression 1.A στο βιβλίο μου:
D. Koutsoyiannis, Stochastics of Hydroclimatic Extremes - A Cool Look at Risk, Edition 3, ISBN: 978-618-85370-0-2, 391 pages, doi: 10.57713/kallipos-1, Kallipos Open Academic Editions, Athens, 2023.
B.B. Mandelbrot and J.R. Wallis, 1968. Noah, Joseph, and operational hydrology. Water Resources Research, 4(5), 909-918.
N.N. Taleb, 2007. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. Random House, USA.
H.E. Hurst, 1951. Long term storage capacities of reservoirs. Trans. Am. Soc. Civil Engrs, 116, 776–808.
Kolmogorov, A.N., 1940. Wiener spirals and some other interesting curves in a Hilbert space. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 26, 115-118. (English edition: Kolmogorov, A.N., 1991, Selected Works of A. N. Kolmogorov - Volume 1, Mathematics and Mechanics, ed. by Tikhomirov, V.M., Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, 324-326).