Ψύχραιμη ματιά στη διακινδύνευση — Μέρος 2: Τι είναι η στοχαστική;

Δεύτερη ανάρτηση για την τέταρτη έκδοση του βιβλίου μου

[Υπάρχει και αγγλική έκδοση της ανάρτησης—There is also an English version of the post]

Σε αυτή τη δεύτερη ανάρτηση σχετικά με το βιβλίο μου Stochastics of Hydroclimatic Extremes - A Cool Look at Risk [Στοχαστική των Ακραίων Υδροκλιματικών Φαινομένων - Μια Ψύχραιμη Ματιά στη Διακινδύνευση] μεταφράζω στα ελληνικά το Digression 1.A: The meaning of stochastics [Παρέκβαση 1.A: Η έννοια της στοχαστικής]. Η στοχαστική είναι το κεντρικό θέμα του βιβλίου και διακρίνεται από τα ντετερμινιστικά μαθηματικά. Το νόημα της στοχαστικής είναι πλούσιο και έχει πολλές πτυχές, μεταξύ των οποίων οι ιδιότητές της να είναι:

• πιθανοθεωρητική,

• κατάλληλη την ποσοτικοποίηση του ανακριβούς, του αβέβαιου ή αλλιώς του τυχαίου,

• διεισδυτική (όχι επιφανειακή),

• ικανή για πρόβλεψη με πιθανοτική έννοια, χρησιμοποιώντας πληροφορίες από το παρελθόν,

• κατάλληλη για τον υπολογισμό των αναμενόμενων (μέσων ή προσδόκιμων) τιμών αβέβαιων ποσοτήτων.

Αυτονόητα, μόλις υιοθετήσουμε τη στοχαστική προσέγγιση, παραδεχόμαστε ότι η αβεβαιότητα είναι αναπόφευκτη και την αντιμετωπίζουμε χρησιμοποιώντας πιθανότητες και προσδόκιμες τιμές για τις διεργασίες που μας ενδιαφέρουν και βγάζοντας συμπεράσματα στη βάση προηγούμενων παρατηρήσεων αυτών των διεργασιών.

Μια συνάντηση τεσσάρων σοφών για να συζητήσουν για τη στοχαστική: Πλάτων, Άγιος Βασίλειος ο Μέγας, Jacob Bernoulli και Andrey Kolmogorov σε μια μεγάλη ακαδημαϊκή αίθουσα (εικόνα που έχει παραχθεί από το εργαλείο τεχνητής νοημοσύνης ChatGPT / DALL-E, βάσει ιστορικών απεικονίσεων). Ας ελπίσουμε ότι οι επόμενες γενιές εργαλείων τεχνητής νοημοσύνης θα είναι σε θέση να δημιουργούν εικόνες στις οποίες τα απεικονιζόμενα πρόσωπα θα μοιάζουν με αυτά που υποτίθεται ότι απεικονίζουν...

Στην κυριολεξία, η στοχαστική είναι όρος ελληνικής προέλευσης. Παράγεται από το ρήμα στοχάζεσθαι, το οποίο με τη σειρά του προέρχεται από το ουσιαστικό στόχος.

Ο Αριστοτέλης, στην πραγματεία του Ηθικά Νικομάχεια (που γράφτηκε περίπου το 350 π.Χ.) χρησιμοποιεί τον όρο στοχαστική στην αρχική του σημασία, που σχετίζεται με τον στόχο, ο οποίος, σύμφωνα με τον ίδιο, είναι ο μέσος όρος: «Η ‘μεσότης’ , λοιπόν, είναι αρετή, με την έννοια ότι στοχεύει να επιτύχει το μέσο».¹ Επιπλέον, στην πραγματεία του Ρητορική χρησιμοποιεί τον όρο με μεταφορική σημασία: «Οι άνθρωποι έχουν ένα επαρκές φυσικό ένστικτο για το τι είναι αληθινό και ως επί το πλείστον φτάνουν στην αλήθεια. Γι’ αυτό και η ικανότητα για στοχαστική αναζήτηση των κοινά παραδεκτών γνωμών είναι χαρακτηριστικό του ανθρώπου που έχει την ίδια ικανότητα σε σχέση με την αλήθεια».²

Ωστόσο, ο Πλάτων ήταν αυτός που χρησιμοποίησε τον όρο με έννοια πιο κοντά στη σύγχρονη επιστημονική, δηλ. που σχετίζεται με την αβεβαιότητα. Στο διάλογό του Φίληβος (γραμμένο περίπου το 360 π.Χ.) αντιπαραβάλλει την αριθμητική και τη μετρητική με τη στοχαστική και παραλληλίζει τη δεύτερη με τη μουσική, η οποία «επιτυγχάνει την αρμονία με στοχασμό [...] έτσι ώστε η ποσότητα της αβεβαιότητας που αναμειγνύεται σε αυτήν να είναι μεγάλη και η ποσότητα της βεβαιότητας μικρή».³

Η αντίθεση μεταξύ της στοχαστικότητας και της ακρίβειας γίνεται σαφής αργότερα από τον Γαληνό με το παράδειγμα του ρολογιού μιας πόλης: «Όταν χτίζεται μια πόλη, θα τεθεί το εξής πρόβλημα ενώπιον εκείνων που θα την κατοικούν: θέλουν να γνωρίζουν, όχι στοχαστικώς αλλά ακριβώς, σε καθημερινή βάση, πόση ώρα έχει περάσει και πόση ώρα απομένει μέχρι τη δύση του ηλίου».⁴

Η σύνδεση της στοχαστικής με την πρόβλεψη ή την πρόγνωση γίνεται φανερή σε ένα απόσπασμα από τον Άγιο Βασίλειο τον Μέγα, ο οποίος αντιπαραβάλλει τον προφήτη με τον στοχαστή: «Έτσι λοιπόν, προφήτης είναι αυτός που προβλέπει το μέλλον με αποκάλυψη του Πνεύματος· από την άλλη πλευρά, στοχαστής είναι αυτός που συμπεραίνει το μέλλον με σύνεση, συγκρίνοντας παρόμοιες καταστάσεις και με την εμπειρία των προγόνων».⁵ Φαίνεται ότι το σχόλιο αυτό επηρέασε μεταγενέστερους μελετητές (π.χ. τον Προκόπιο) και ίσως καθόρισε τη σημασία του στοχαστή και του στοχασμού στα νέα ελληνικά.

Η μεταφύτευση της στοχαστικής, ως διεθνούς επιστημονικού όρου, στο σύγχρονο λεξιλόγιο οφείλεται στον Jacob Bernoulli, ο οποίος προφανώς γνώριζε την ελληνική γλώσσα και λογοτεχνία, και ειδικότερα το απόσπασμα από τον Φίληβο του Πλάτωνα που αναφέρθηκε παραπάνω. Στο περίφημο βιβλίο του Ars Conjectandi (γραμμένο στα λατινικά το 1684-89 αλλά δημοσιευμένο μετά το θάνατό του) γράφει: «Το να εικάζεις για κάτι σημαίνει να μετράς την πιθανότητά του. Ως εκ τούτου, ορίζουμε την τέχνη της εικασίας, ή στοχαστική, ως την τέχνη της μέτρησης των πιθανοτήτων των πραγμάτων με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια, με σκοπό, στις κρίσεις και τις ενέργειές μας, να μπορούμε πάντα να επιλέγουμε ή να ακολουθούμε αυτό που έχει βρεθεί καλύτερο, πιο ικανοποιητικό, πιο ασφαλές, πιο προσεκτικά μελετημένο. Σε αυτό και μόνο περιστρέφεται όλη η σοφία του φιλοσόφου και όλη η πρακτική κρίση του πολιτικού».⁶

Ο όρος αναβίωσε χάρη στον Bortkiewicz (1917,⁷ Ρώσο οικονομολόγο και στατιστικολόγο πολωνικής καταγωγής) και επίσης στον Slutsky (1925, 1928a,b, 1929,⁸ Ουκρανό-Ρώσο, τότε Σοβιετικό, μαθηματικό, στατιστικολόγο και οικονομολόγο). Φαίνεται ότι η επικράτηση στην ΕΣΣΔ του πιο εξελιγμένου όρου στοχαστικός (έναντι του όρου τυχαίος) σχετίζεται με πολιτικούς και ιδεολογικούς λόγους (ασυμβατότητα της τυχαιότητας με τον διαλεκτικό υλισμό: τα μοντέλα πέραν του αυστηρού ντετερμινισμού αντιμετωπίζονταν με a priori καχυποψία· βλ. Mazliak 2018).⁹

Όμως ο Kolmogorov (1931)¹⁰ ήταν αυτός που διέδωσε τον όρο και τον έκανε δημοφιλή, καθώς εισήγαγε την έννοια stochastic process [στοχαστική ανέλιξη], διευκρινίζοντας επίσης ότι process [ανέλιξη, διεργασία] σημαίνει αλλαγή ενός συγκεκριμένου συστήματος. Επιπλέον, χρησιμοποίησε τον όρο στάσιμη για να περιγράψει μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που παραμένει αμετάβλητη στο χρόνο (ενώ ταυτόχρονα αλλάζει η κατάσταση του συστήματος). Αμέσως μετά, ο Kolmogorov (1933)¹¹ εισήγαγε τον σύγχρονο και συνεπή ορισμό της πιθανότητας με αξιωματικό τρόπο, βασισμένο στη θεωρία μέτρου (βλ. ενότητα 2.1).

1. «μεσότης τις ἄρα ἐστὶν ἡ ἀρετή, στοχαστική γε οὖσα τοῦ μέσου» (Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια, 1106b). Η ‘μεσότης’, που σημαίνει ισορροπία στο μέσο ανάμεσα στο «πάρα πολύ» και στο «πολύ λίγο», αποτελεί βασική έννοια της ηθικής φιλοσοφίας του Αριστοτέλη και επομένως το να την πετύχει ως στόχο είναι σημαντικό γι' αυτόν.

2. «οἱ ἄνθρωποι πρὸς τὸ ἀληθὲς πεφύκασιν ἱκανῶς καὶ τὰ πλείω τυγχάνουσι τῆς ἀληθείας: διὸ πρὸς τὰ ἔνδοξα στοχαστικῶς ἔχειν τοῦ ὁμοίως ἔχοντος καὶ πρὸς τὴν ἀλήθειάν ἐστιν» (Αριστοτέλους Ρητορική, 1.1).

3. Το πλήρες απόσπασμα είναι: ΣΩΚΡΑΤΗΣ: «οἷον πασῶν που τεχνῶν ἄν τις ἀριθμητικὴν χωρίζῃ καὶ μετρητικὴν καὶ στατικήν, ὡς ἔπος εἰπεῖν φαῦλον τὸ καταλειπόμενον ἑκάστης ἂν γίγνοιτο. […] τὸ γοῦν μετὰ ταῦτ᾽ εἰκάζειν λείποιτ᾽ ἂν καὶ τὰς αἰσθήσεις καταμελετᾶν ἐμπειρίᾳ καί τινι τριβῇ, ταῖς τῆς στοχαστικῆς προσχρωμένους δυνάμεσιν ἃς πολλοὶ τέχνας ἐπονομάζουσι, μελέτῃ καὶ πόνῳ τὴν ῥώμην ἀπειργασμένας. […] οὐκοῦν μεστὴ μέν που μουσικὴ πρῶτον, τὸ σύμφωνον ἁρμόττουσα οὐ μέτρῳ ἀλλὰ μελέτης στοχασμῷ, καὶ σύμπασα αὐτῆς αὐλητική, τὸ μέτρον ἑκάστης χορδῆς τῷ στοχάζεσθαι φερομένης θηρεύουσα, ὥστε πολὺ μεμειγμένον ἔχειν τὸ μὴ σαφές, σμικρὸν δὲ τὸ βέβαιον.» (Πλάτωνος Φίληβος, 55e.)

4. «πόλεως κτιζομένης προκείσθω τοῖς οἰκήσουσιν αὐτὴν ἐπίστασθαι βούλεσθαι, μὴ στοχαστικῶς ἀλλ’ ἀκριβῶς, ἐφ’ ἑκάστης ἡμέρας, ὁπόσον τε παρελήλυθεν ἤδη τοῦ χρόνου τοῦ κατ’ αὐτήν, ὁπόσον θ’ ὑπόλοιπόν ἐστιν ἄχρι δύσεως ἡλίου.» (Γαληνοῦ Περὶ Διαγνώσεως καὶ Θεραπείας τῶν ἐν τῇ ἑκάστου Ψυχῇ Ἁμαρτημάτων, 80, http://www.poesialatina.it/_ns/greek/testi/Galenus/De_animi_cuiuslibet_peccatorum_dignotione_et_curatione.html.)

5. «Οὐκοῦν Προφήτης μέν ἐστιν, ὁ κατὰ ἀποκάλυψιν τοῦ Πνεύματος προαγορεύων τὸ μέλλον· στοχαστὴς δὲ, ὁ διὰ σύνεσιν ἐκ τῆς τοῦ ὁμοίου παραθέσεως, διὰ τὴν πεῖραν τῶν προλαβόντων, τὸ μέλλον συντεκμαιρόμενος.» (Βασιλείου,, Ερμηνεία εις τον προφήτην Ησαΐαν, 3.102.26.)

6. “Conjicere rem aliquam est metiri illius probabilitatem: ideoque Ars Conjectandi sive Stochastice nobis definitur ars metiendi quàm fieri potest exactissimè probabilitates rerum, eo fine, ut in judiciis & actionibus nostris semper eligere vel sequi possimus id, quod melius, satius, tutius aut consultius fuerit deprehensum; in quo solo omnis Philosophi sapientia & Politici prudential versatur.”

Bernoulli, J., 1713. Ars Conjectandi, Opus Posthumum. Accedit Tractatus de Seriebus Infinitis, et Epistola Gallicé Scripta de Ludo Pilae Reticularis. Basileae, Impensis Thurnisiorum, Fratrum [English translation: The art Of Conjecturing, Together With Letter to a Friend on Sets in Court Tennis. Translated with an Introduction and Notes by Edith Dudley Sylla; The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, USA, 2006.]

7. Bortkiewicz, L., 1917. Die Iterationen — Ein Beitrag zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin.

8. Slutsky, E.,1925, Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte, Metron, 5(3), 3-89.

Slutsky, E., 1927. Slozhenie sluchainykh prichin, kak istochnik tsiklicheskikh protsessov. Voprosy kon’’yunktury, 3, 34 – 64. 1927 (English edition: Slutzky, E., 1937. The summation of random causes as the source of cyclic processes. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 105-146).

Slutsky, E., 1928a. Sur ùn critérium de la convergence stochastique des ensembles des valeurs éventuelles). Comptes rendus Acad. Sci., 187, 370.

Slutsky, E., 1928b. Sur les fonctions éventuelles continues, intégrables et dérivables dans le sens stochastiques. Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 187, 878.

Slutsky, E.,1929. Quelques propositions sur les limites stochastiques éventuelles. Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 189, 384.

9. Mazliak, L., 2018. The beginnings of the Soviet Encyclopedia. The utopia and misery of mathematics in the political turmoil of the 1920s. Centaurus, 60(1-2), 25-51.

10. Kolmogorov, A.N., 1931. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Ann., 104, 415-458. (English translation: On analytical methods in probability theory, In: Kolmogorov, A.N., Selected Works of A. N. Kolmogorov - Volume 2, Probability Theory and Mathematical Statistics, ed. by A.N. Shiryayev, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, 62-108, 1992).

11. Kolmogorov, A.N., 1933. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ergebnisse der Math. (2), Berlin (2nd English Edition: Foundations of the Theory of Probability, 84 pp. Chelsea Publishing Company, New York, 1956).